Question

如圖，在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，最大容積是

16000cm³

．

Answer 1

分析：設(shè)箱底邊長(zhǎng)為xcm，結(jié)合題意可得容積V（x）=

1

2

（60x²-x³）（0＜x＜60）．再用導(dǎo)數(shù)工具研究V（x）在區(qū)間（0，60）上的單調(diào)性，可知當(dāng)x=40時(shí)V（x）達(dá)到最大值．由此得到本題答案．

解答：解：設(shè)箱底邊長(zhǎng)為xcm，則箱高h(yuǎn)=

60-x

2

，
∴箱子容積V（x）=x²h=

1

2

（60x²-x³）（0＜x＜60）．
求導(dǎo)數(shù)，得V′（x）=60x-

3

2

x²，
令V′（x）=60x-

3

2

x²=0，解得x=0（不合題意，舍去），x=40，
∵x∈（0，40）時(shí)，V′（x）＞0；x∈（40，60）時(shí)，V′（x）＜0
∴V（x）在區(qū)間（0，40）上為增函數(shù)，區(qū)間（40，60）上為減函數(shù)
由此可得V（x）的最大值是V（40）=16000．
故答案為：16000cm³．

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題為例，求鐵箱的容積最大值．著重考查了函數(shù)模型及其應(yīng)用和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求最值等知識(shí)，屬于中檔題．