Question

設(shè)f(x)＝lg，如果當(dāng)x∈(－∞，1)時f(x)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：由題設(shè)可知，不等式1＋2＋4a＞0在x∈(－∞，1)上恒成立， 　　即：()＋()＋a＞0在x∈(－∞，1)上恒成立 　　設(shè)t＝()，則t≥， 　　又設(shè)g(t)＝t＋t＋a，其對稱軸為t＝－ 　　∴t＋t＋a＝0在[，＋∞)上無實(shí)根， 　　即g()＝()＋＋a＞0，得a＞－ 　　所以a的取值范圍是a＞－． 　　分析：將當(dāng)x∈(－∞，1)時f(x)＝lg有意義的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為1＋2＋4a＞0在x∈(－∞，1)上恒成立的不等式問題． 　　說明：對于不等式恒成立，引入新的參數(shù)化簡了不等式后，構(gòu)造二次函數(shù)，利用函數(shù)的圖像和單調(diào)性解決問題，其中也聯(lián)系到了方程無解，體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想一般地，我們在解題中要抓住二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系，將問題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化． 　　在解決不等式()＋()＋a＞0在x∈(－∞，1)上恒成立的問題時，也可使用“分離參數(shù)法”：設(shè)t＝()，t≥，則有a＞－t－t∈，所以a的取值范圍是a＞－．其中最后得到a的范圍，是利用了二次函數(shù)在某區(qū)間上值域的研究，也可屬應(yīng)用“函數(shù)思想”．