Question

設(shè)a＞1，則當y=a^x與y=log_ax兩個函數(shù)圖象有且只有一個公共點時，lnlna=________．

Answer 1

-1
分析：利用同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的性質(zhì)，得到兩個函數(shù)只有一個公共點的等價條件．
解答：因為y=a^x與y=log_ax兩個函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于y=x對稱，所以要使兩個函數(shù)圖象有且只有一個公共點時，則它們y=x是兩個函數(shù)的共同的切線．
設(shè)兩個函數(shù)相切時的切點坐標為M（x₀，y₀），由于曲線y=a^x在M處的切線斜率為1，
所以，且函數(shù)y=a^x的導數(shù)為，
即，所以，
則，兩邊取對數(shù)得=1，
所以解得e=，所以，即，此時x₀=e．
所以lnlna═ln（）=-1．
故答案為：-1．
點評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，以及利用導數(shù)求曲線切線問題，綜合性較強，難度較大．