Question

已知函數(shù)f （x）=

x

1-2x

的反函數(shù)為f ^-1（x），若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f ^-1（a_n）（n∈N₊）且a₁=-

1

2007

．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=a_na_n-1，求b_n的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）先求原函數(shù)的反函數(shù)，即從原函數(shù)式中反解出x，后再進(jìn)行x，y互換，即得反函數(shù)的解析式，再利用等差數(shù)列求數(shù)列{

1

an

}的通項(xiàng)，最后求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．
（2）由（1）得出b_n，進(jìn)而得到數(shù)列b_n的通項(xiàng)公式，利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，得到數(shù)列的單調(diào)性，即可得數(shù)列的最值．

解答：解：（1）由y=

x

1-2x

得 x=

y

2y+1

，∴f-1(x)=

x

2x+1

(x≠-

1

2

)
又a_n+1=f^-1（a_n）（n∈N₊），∴a_n+1=

an

2an+1

∵a₁=-

1

2007

，a_n+1=

an

2an+1

，∴a_n≠0（n∈N₊）
∴

1

an+1

=

1

an

+2(n∈N+)且

1

a1

=-2007
∴{

1

an

}是以為-2007首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列
∴

1

an

=-2007+2(n-1)
∴an=

1

2n-2009

為所求．（6分）
（2）由（1）知b_n=

1

(2n-2009)(2n-2011)

，記g（n）=（2n-2009）（2n-2011）（n∈N₊）
當(dāng)1≤n≤1004時(shí)，g（n）單調(diào)遞減且g_min（n）=g（1004）=3此時(shí)b_n＞0且b_n的最大值為

1

3

；
當(dāng)n=1005時(shí)，g（n）=-1；
當(dāng)n≥1006時(shí)，g（n）單調(diào)遞增且g_min（n）=g（1006）=3此時(shí)b_n＞0且b_n的最大值為

1

3

；
綜上：b_n的最大值為

1

3

，最小值為-1．（12分）

點(diǎn)評：本題考查反函數(shù)的求法，以及等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，數(shù)列與函數(shù)的綜合以及數(shù)列最值的求法，特別注意體會(huì)函數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用．