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        1. 已知函數(shù)f(x)=
          1+lnx
          x

          (1)若函數(shù)在區(qū)間(t,t+
          1
          2
          )(其中t>0)上存在極值,求實數(shù)t的取值范圍;
          (2)如果當(dāng)x≥1時,不等式f(x)
          a
          x+1
          恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
          分析:(1)因為f(x)=
          1+lnx
          x
          ,x>0,則f′(x)=-
          lnx
          x2
          ,利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)f(x)在區(qū)間(t,t+
          1
          2
          )(其中t>0)上存在極值,能求出實數(shù)a的取值范圍.
          (2)不等式f(x)
          a
          x+1
          恒成立,即為
          (x+1)(1+lnx)
          x
          ≥a恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)=
          (x+1)(1+lnx)
          x
          ,利用導(dǎo)數(shù)知識能求出實數(shù)k的取值范圍.
          解答:解:(1)因為f(x)=
          1+lnx
          x
          ,x>0,則f′(x)=-
          lnx
          x2
          ,
          當(dāng)0<x<1時,f′(x)>0;
          當(dāng)x>1時,f′(x)<0.
          所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值.
          因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(t,t+
          1
          2
          )(其中t>0)上存在極值,
          所以
          t<1
          t+
          1
          2
          >1
          ,解得
          1
          2
          <t<1.
          (2)不等式f(x)
          a
          x+1
          恒成立,即為
          (x+1)(1+lnx)
          x
          ≥a恒成立,
          記g(x)=
          (x+1)(1+lnx)
          x
          ,所以g′(x)=
          [(x+1)(1+lnx)]′x-(x+1)(1+ln x)
          x2
          =
          x-lnx
          x2

          令h(x)=x-lnx,
          h′(x)=1-
          1
          x

          ∵x≥1,∴h′(x)≥0,
          ∴h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,∴[h(x)]min=h(1)=1>0,
          從而g′(x)>0,
          故g(x)在[1,+∞)上也單調(diào)遞增,所以[g(x)]min=g(1)=2,
          所以a≤2.
          點(diǎn)評:本題考查極值的應(yīng)用,應(yīng)用滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法.解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意構(gòu)造法和分類討論法的合理運(yùn)用.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          |x|
          ,g(x)=1+
          x+|x|
          2
          ,若f(x)>g(x),則實數(shù)x的取值范圍是( 。
          A、(-∞,-1)∪(0,1)
          B、(-∞,-1)∪(0,
          -1+
          5
          2
          )
          C、(-1,0)∪(
          -1+
          5
          2
          ,+∞)
          D、(-1,0)∪(0,
          -1+
          5
          2
          )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1,x∈Q
          0,x∉Q
          ,則f[f(π)]=(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1-x
          ax
          +lnx(a>0)

          (1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
          (2)當(dāng)a=1時,求f(x)在[
          1
          2
          ,2
          ]上的最大值和最小值;
          (3)當(dāng)a=1時,求證對任意大于1的正整數(shù)n,lnn>
          1
          2
          +
          1
          3
          +
          1
          4
          +
          +
          1
          n
          恒成立.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=1+cos2x-2sin2(x-
          π
          6
          ),其中x∈R,則下列結(jié)論中正確的是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=1+logax(a>0,a≠1),滿足f(9)=3,則f-1(log92)的值是( 。

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          同步練習(xí)冊答案