Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2），a₁=1．
（1）證明：數(shù)列{

Sn

}是等差數(shù)列．并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=

1

anan+1

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：Tn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）利用平方差公式對(duì)題設(shè)中的等式化簡(jiǎn)整理求得

sn?

 -

sn-1?

=1，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{

sn?

}是一個(gè)首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列．進(jìn)而根據(jù)首項(xiàng)和公差求得數(shù)列{

sn?

}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求得a_n．
（2）把（1）中的a_n代入b_n，進(jìn)而根據(jù)裂項(xiàng)法求得前n項(xiàng)的和，求得T_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)，進(jìn)而利用1-

1

2n+1

＜1推斷出Tn＜

1

2

，原式得證．

解答：解：（1）∵Sn-Sn-1=(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

，（n≥2）
又b_n≥o，

sn

 ＞0，∴

sn?

 -

sn-1?

=1，
又

S1

=

a1

=1，所以數(shù)列{

sn?

}是一個(gè)首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列．

sn?

=1+(n-1)×1=n，s_n=n²．
當(dāng)n≥2，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；a₁=1適合上式，∴a_n=2n-1（n∈N）．
（2）bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
T_n=b₁+b₂++b_n

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)；
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

++

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
∵n∈N，∴

1

2n+1

＞0，1-

1

2n+1

＜1，

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

，即Tn＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差關(guān)系的確定和數(shù)列的求和，數(shù)列和不等式的綜合運(yùn)用．作為高考的必考內(nèi)容，數(shù)列題常與不等式，函數(shù)等問(wèn)題綜合考查，綜合性較強(qiáng)．