Question

從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50名測量身高，據測量被測學生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結果按如下方式分成八組；第一組[155，160）、第二組[160，165）；…第八組[190，195），如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數相同，第六組、第七組、第八組人數依次構成等差數列．
（1）求第六組、第七組的頻率．
（2）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為x、y，求滿足|x-y|≤5的事件概率．

Answer 1

分析：（1）由直方圖求出前五組的頻率，進一步得到后三組的頻率，然后求出后三組的人數和，再由第八組的頻率求出第八組的人數，設出第六組的人數m，得到第七組的人數，由等差中項的概念得到關于m的等式，繼而求出m，則第六組、第七組的頻率可求；
（2）分別求出身高在[180，185）內和在[190，195）的人數，標號后利用列舉法寫出從中隨機抽取兩名男生的所有情況，查出滿足|x-y|≤5的事件個數，然后利用古典概型概率計算公式求解．

解答：解：（1）由直方圖知，前五組頻率為（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，
后三組頻率為1-0.82=0.18，人數為0.18×50=9（人），
由直方圖得第八組頻率為：0.008×5=0.04，人數為0.04×50=2（人），
設第六組人數為m，則第七組人數為9-2-m=7-m，又第六組、第七組、第八組人數依次構成等差數列，
∴m+2=2（7-m），∴m=4．
∴第六組人數為4人，第七組人數為3人，頻率分別等于

4

50

=0.08，

3

50

=0.06．
（2）由（1）知身高在[180，185）內的人數為4人，設為a，b，c，d．身高在[190，195）的人數為2人，設為A，B．
若x，y∈[180，185）時，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六種情況．
若x，y∈[190，195）時，有AB共一種情況．
若x，y分別在[180，185）和[190，195）內時，
有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8種情況，
∴基本事件總數為6+8+1=15種，
事件|x-y|≤5所包含的基本事件個數有6+1=7種．
∴P（|x-y|≤5）=

7

15

．

點評：本題考查了頻率分布直方圖，考查了古典概型及其概率計算公式，考查了學生的讀圖能力，是基礎題．