Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，PD⊥底面ABCD，設(shè)PD=4

3

，M、N分別是PB、AB的中點(diǎn)．
（I）求異面直線MN與PD所成角的大��；
（II）求二面角P-DN-M的大小．

Answer 1

分析：（I）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出異面直線MN與PD的法向量，代入向量夾角公式，即可求出異面直線MN與PD所成角的大��；
（II）分別求出平面PDN的一個(gè)法向量和平面DMN的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，可以求出二面角P-DN-M的余弦值，進(jìn)而得到二面角P-DN-M的大�。�

解答：解：（I）∵四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，PD⊥底面ABCD，設(shè)PD=4

3

，M、N分別是PB、AB的中點(diǎn)．
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則M（2，2，2

3

），N（4，2，0），P（0，0，4

3

），D（0，0，0）
則

MN

=（2，0，-2

3

），

PD

=（0，0，-4

3

），
設(shè)異面直線MN與PD所成角為θ
則cosθ=|

MN • PD

| MN |•| PD |

|=

3

2

∴θ=

π

6

（II）設(shè)

m

=（a，b，c）為平面PDN的一個(gè)法向量
則

m • PD =0 m • DN =0

，即

-4 3 c=0 4a+2b=0

令a=1，則

m

=（1，-2，0）平面PDN的一個(gè)法向量
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面DMN的一個(gè)法向量
則

n • DM =0 n • DN =0

，即

2x-2 3 z=0 4x+2y=0

令z=1，則

n

=（

3

，-2

3

，1）為平面DMN的一個(gè)法向量
設(shè)二面角P-DN-M的平面角為α
則cosα=|

m • n

| m |•| n |

|=

15

4

∴二面角P-DN-M的大小為arccos

15

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，異面直線及其所成的角，解答此類問題的關(guān)鍵是，建立恰當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，求出對(duì)應(yīng)直線的方向向量及平面的法向量，將空間異面直線的夾角問題及二面角問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題．