Question

【題目】如圖， 平面， ， ， ， 為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）求多面體的體積；

（Ⅲ）求二面角的正切值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】【試題分析】（Ⅰ）先運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)定理證明，再運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)證明，進(jìn)而運(yùn)用線面垂直的判定定理證明平面；（Ⅱ）先求三棱錐的高和底面三角形面積，用三棱錐的體積公式求出體積；（Ⅲ）先運(yùn)用二面角平面角的定義找出二面角的平面角，再構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出，最后運(yùn)用解直角三角形的正切函數(shù)的定義求出：

（Ⅰ）證明：∵平面，

∴平面

∴ ①

又∵，點(diǎn)為邊中點(diǎn)

∴ ②

故由①②得平面

（Ⅱ）過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)

∵

∴平面

∴

，

∴

（Ⅲ）延長交延長線于，過點(diǎn)作于，連結(jié)

由（Ⅱ）可得： 為的平面角

∵

∴

∴

∵∽

∴

∴即

∴