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        1. 已知函數(shù)f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a為常數(shù),e=2.718…,且函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖像在它們與坐標軸交點處的切線互相平行.
          (1)求常數(shù)a的值;(2)若存在x使不等式>成立,求實數(shù)m的取值范圍;
          (3)對于函數(shù)y=f(x)和y=g(x)公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)x0,我們把|f(x0)-g(x0)|的值稱為兩函數(shù)在x0處的偏差.求證:函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.

          (1) a=1.(2) (-∞,0).(3)詳見解析.

          解析試題分析:(1)求出交點,切線平行即導(dǎo)數(shù)值相等可解;(2)轉(zhuǎn)化為新函數(shù),求出導(dǎo)數(shù),利用單調(diào)性極值解;(3)構(gòu)造新函數(shù)求導(dǎo),利用單調(diào)性證明.
          試題解析:(1)f(x)與坐標軸的交點為(0,a),f′(0)=a,g(x)與坐標軸的交點為(a,0),g′(a)=.
          ∴a=,得a=±1,又a>0,故a=1.
          (2>可化為m<x-ex.令h(x)=x-ex,則h′(x)=1-()ex.
          ∵x>0,∴,ex>1()ex>1.故h′(x)<0.
          ∴h(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),因此h(x)<h(0)=0.    ∴實數(shù)m的取值范圍是(-∞,0).
          (3)y=f(x)與y=g(x)的公共定義域為(0,+∞),|f(x)-g(x)|=|ex-lnx|=ex-lnx.
          令h(x)=ex-x-1,則h′(x)=ex-1>0.∴h(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
          故h(x)>h(0)=0,即ex-1>x.  、
          令m(x)=lnx-x+1,則m′(x)=-1.
          當x>1時,m′(x)<0,當0<x<1時,m′(x)>0.∴m(x)有最大值m(1)=0,因此lnx+1<x. 、
          由①②,得ex-1>lnx+1,即ex-lnx>2.   
          ∴函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2. 
          考點:導(dǎo)數(shù)幾何意義、極值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          已知函數(shù),設(shè)曲線在與軸交點處的切線為,的導(dǎo)函數(shù),滿足
          (1)求
          (2)設(shè),,求函數(shù)上的最大值;
          (3)設(shè),若對于一切,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          已知函數(shù)。
          (Ⅰ)若是增函數(shù),求b的取值范圍;
          (Ⅱ)若時取得極值,且時,恒成立,求c的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          設(shè)為實數(shù),函數(shù)
          (Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間與極值;
          (Ⅱ)求證:當時,

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          設(shè)函數(shù)的定義域為(0,).
          (Ⅰ)求函數(shù)上的最小值;
          (Ⅱ)設(shè)函數(shù),如果,且,證明:.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          已知函數(shù)
          (1)若的極值點,求實數(shù)的值;
          (2)若上為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
          (3)當時,方程有實根,求實數(shù)的最大值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          設(shè)m為實數(shù),函數(shù)f(x)=-+2x+m,x∈R
          (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
          (Ⅱ)求證:當m≤1且x>0時,>2+2mx+1.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          已知.
          (Ⅰ)寫出的最小正周期
          (Ⅱ)求由,,,以及圍成的平面圖形的面積.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          如下圖,過曲線上一點作曲線的切線軸于點,又過軸的垂線交曲線于點,然后再過作曲線的切線軸于點,又過軸的垂線交曲線于點,以此類推,過點的切線 與軸相交于點,再過點軸的垂線交曲線于點N).
          (1) 求及數(shù)列的通項公式;(2) 設(shè)曲線與切線及直線所圍成的圖形面積為,求的表達式; (3) 在滿足(2)的條件下, 若數(shù)列的前項和為,求證:N.

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