Question

 

    如題（19）圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，

PA底面ABCD，PA=AB=，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)。

   （Ⅰ）求直線AD與平面PBC的距離；

   （Ⅱ）若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。

 

 

Answer 1

【答案】

 

解法一：

   （I）如答（19）圖1，在矩形ABCD中，AD//BC，

從而AD//平面PBC，故直線AD與平面PBC的距離

為點(diǎn)A到平面PBC的距離.

    因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，由PA=AB知

為等腰直角三角形，又點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，故AE⊥PB

又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD

內(nèi)的射影，由三垂線定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，

故BC⊥AE，從而AE⊥平面PBC，故AE之長(zhǎng)即為直線AD與平面PBC的距離.

    在中，PA=AB=，所以

   （II）過點(diǎn)D作DF⊥CE，交CE于F，過點(diǎn)F作FG⊥CE，交AC于G，則為所求的二面角的平面角.

由（I）知BC⊥平面PAB，又AD//BC，得AD⊥平面PAB，

故AD⊥AE，從而

在中，為等邊三角形，故F為CE的中點(diǎn)，且

因?yàn)锳E⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知，從而

且G點(diǎn)為AC的中點(diǎn).

連接DG，則在

所以

解法二：

   （I）如答（19）圖2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz.

    設(shè)D（0，a，0），則

    .

    因此

   

    則，所以AE⊥平面PBC.

又由AD//BC知AD//平面PBC，故直線AD與平面PBC的距離為點(diǎn)A到平面PBC的距離，即為

   （II）因?yàn)?sub>

設(shè)平面AEC的法向量

又

所以

可取

設(shè)平面DEC的法向量

又

 

故

所以

故

所以二面角A—EC—D的平面角的余弦值為