Question

已知函數(shù)f（x）=1+lnx．
（1） 求過原點且與曲線y=f（x）相切的直線方程；
（2） 若關于x的不等式f（x）≤ax恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1） 先求其導函數(shù)，設出切點坐標，進而得切線的斜率，求出切線方程，利用切線過原點，就可以把具體的切線方程求出來；
（2）先把不等式f（x）≤ax恒成立轉化為a≥

f(x)

x

=

1+lnx

x

，再利用導函數(shù)求出不等式右邊的最大值即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=1+lnx，∴f ′(x)=

1

x

 ，(x＞0)，
設曲線y=f（x）上切點坐標為（x₀，1+lnx₀），
則k=

1

x0

=

1+lnx0

x0

，解得x₀=1，k=1，
∴切線方程為y=x．（5分）
（2）∵x＞0，
∴f（x）≤ax?a≥

f(x)

x

=

1+lnx

x

，（6分）
設g(x)=

1+lnx

x

，則g′(x)=

1-(1+lnx)

x2

=

-lnx

x2

，（8分）
令g′(x)=

-lnx

x2

=0，得x=1，（9分）
當0＜x＜1時，g'（x）＞0，g（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
當x＞1時，g'（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴a≥1．（12分）

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程以及研究函數(shù)在某個閉區(qū)間上的最值問題，是對知識的綜合考查，屬于中檔題．