Question

（2006•松江區(qū)模擬）（理）設(shè)α、β是方程x²+x+1=0的兩根，則α²⁰⁰⁶+β²⁰⁰⁶+1=

0

．

Answer 1

分析：根據(jù)一元二次方程寫出方程的兩個(gè)根，是一對(duì)互為共軛復(fù)數(shù)的虛根，根據(jù)這兩個(gè)根的三次方是1，把要求的結(jié)果進(jìn)行整理，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)根的平方和的形式，求出結(jié)果．

解答：解：α、β是方程x²+x+1=0的兩根，
∴α=-

1

2

+

3

2

i，β=-

1

2

-

3

2

i
∴α³=β³=1
∴α²⁰⁰⁶+β²⁰⁰⁶+1=α²+β²+1=(-

1

2

+

3

2

i)2+(-

1

2

-

3

2

i)2=0，
故答案為：0

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是寫出根，看出根的特點(diǎn)，熟練應(yīng)用虛數(shù)單位的性質(zhì)，本題是一個(gè)中檔題目．