Question

已知點(diǎn)P是圓x²+y²=1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影為Q，設(shè)滿足條件（λ為非零常數(shù)）的點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若存在過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且•=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用題中條件把點(diǎn)M的坐標(biāo)用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來(lái)，最后利用點(diǎn)P在圓x²+y²=1上即可求曲線C的方程；
（2）先把直線方程與曲線方程聯(lián)立求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，代入•=0的等價(jià)結(jié)論x₁x₂+y₁y₂=0即可求λ的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，y）．
由，得x=λx，y=y⇒，y=y．（3分）
因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x²+y²=1上，則x²+y²=1，所以．
故點(diǎn)M的軌跡C的方程為．（7分）
（2）因?yàn)橹本�l的斜率為0時(shí)，•=0，故可設(shè)直線l的方程為．
由得（*）（10分）
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181038466230663/SYS201310241810384662306016_DA/12.png">•=0，則x₁x₂+y₁y₂=0，又，

所以，（13分）
因?yàn)棣恕?，所以m²=，由≥0⇒-且λ≠0．，

此時(shí)（*）的判別式△＞0成立，故λ的取值范圍是．（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查軌跡方程的求法，直線的方程，向量共線以及向量垂直等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力．