Question

如圖，相距200海里的A、B兩地分別有救援A船和B船．在接到求救信息后，A船能立即出發(fā)，B船因港口原因需2小時(shí)后才能出發(fā)，兩船的航速都是30海里/小時(shí)．在同時(shí)收到求救信息后，A船早于B船到達(dá)的區(qū)域稱(chēng)為A區(qū)，否則稱(chēng)為B區(qū)．若在A地北偏東45°方向，距A地150

2

海里處的M點(diǎn)有一艘遇險(xiǎn)船正以10海里/小時(shí)的速度向正北方向漂移．A區(qū)與B區(qū)邊界線（即A、B兩船能同時(shí)到達(dá)的點(diǎn)的軌跡）方程；
問(wèn)：
①應(yīng)派哪艘船前往救援？
②救援船最快需多長(zhǎng)時(shí)間才能與遇險(xiǎn)船相遇？（精確到0.1小時(shí)）

Answer 1

分析：①先根據(jù)A船能立即出發(fā)，B船因港口原因需2小時(shí)后才能出發(fā)，確定點(diǎn)P的軌跡是雙曲線中的一支，求出其方程，再計(jì)算|MA|-|MB|，即可得出結(jié)論；
②設(shè)經(jīng)t小時(shí)后，A救援船在點(diǎn)N處與遇險(xiǎn)船相遇．在△AMN中，利用余弦定理建立方程，即可求出救援船的時(shí)間．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P為邊界線上的點(diǎn)，由題意知

PA

30

=

PB

30

+2，即PA-PB=60，
∴動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距離之差為常數(shù)，
∴點(diǎn)P的軌跡是雙曲線中的一支．                    …（3分）
由2c=200，2a=60得a=30，b²=100²-30²=9100
∴方程為

x2

900

-

y2

9100

=1（x＞0）…（6分）
①M(fèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為M（50，150），A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-100，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為B（100，0），
∴|MA|=150

2

≈212.1，|MB|=

502+1502

≈158.1，
∴|MA|-|MB|≈212.1-158.1=54＜60，
∴點(diǎn)M在A區(qū)，又遇險(xiǎn)船向正北方向漂移，即遇險(xiǎn)船始終在A區(qū)內(nèi)，
∴應(yīng)派A船前往救援              …（8分）
②設(shè)經(jīng)t小時(shí)后，A救援船在點(diǎn)N處與遇險(xiǎn)船相遇．
在△AMN中，AM=150

2

，MN=10t，AN=30t，∠AMN=135°…（9分）
∴(30t)2=(10t)2+(150

2

)2-2•10t•150

2

cos135°
整理得4t²-15t-225=0，
解得t=

15+15 17

8

≈9.606或t=

15-15 17

8

（舍）       …（13分）
∴A救援船需9.6小時(shí)后才能與遇險(xiǎn)船相遇．                …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的運(yùn)用，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．