Question

設數列{a_n}的前n項和S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*），其中m為常數且m≠-3，m≠0．
（1）求證：{a_n}是等比數列；
（2）若數列{a_n}的公比滿足q=f（m）且b₁=a₁，b_n=

3

2

f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求證{

1

bn

}為等差數列，并求b_n．

Answer 1

分析：（1）利用式子（3-m）S_n+2ma_n=m+3求出（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，相減得到

an+1

an

=

2m

3+m

為常數，即可得證．
（2）先求出b₁=1，再根據題意得到數列{b_n}的表達式，構造新的數列，求出新數列的表達式，進而求出數列{b_n}的表達式．

解答：（1）證明：∵（3-m）S_n+2ma_n=m+3，∴（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，
兩式相減，得（3+m）a_n+1=2ma_n（m≠3）
∴

an+1

an

=

2m

3+m

為常數，
∴{a_n}是等比數列；
（2）解：由（3-m）a₁+2ma₁=m+3，得（m+3）a₁=m+3，
∵m≠-3，∴a₁=1，b₁=1，
數列{a_n}的公比滿足q=f（m）=

2m

3+m

∵b_n=

3

2

f（b_n-1），
∴b_n=

3

2

•

2bn-1

3+bn-1

∴

1

bn

-

1

bn-1

=

1

3

∴{

1

bn

}為1為首項

1

3

為公差的等差數列，
∴

1

bn

=

n+2

3

∴b_n=

3

n+2

．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．