Question

（1）已知平面上兩定點(diǎn)A（-2，0）．B（2，0），且動(dòng)點(diǎn)M標(biāo)滿足

MA

•

MB

=0，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若把（1）的M的軌跡圖象向右平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位，恰與直線x+ky-3=0 相切，試求實(shí)數(shù)k的值；
（3）如圖，l是經(jīng)過(guò)橢圓

y2

25

+

x2

16

=1長(zhǎng)軸頂點(diǎn)A且與長(zhǎng)軸垂直的直線，E．F是兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P∈l，P不與A重合．若∠EPF=α，求α的取值范圍．
并將此題類比到雙曲線：

y2

25

-

x2

16

=1，l是經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且與實(shí)軸垂直的直線，A、B是兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P∈l，P不與F重合，請(qǐng)作出其圖象．若∠APB=α，寫(xiě)出角α的取值范圍．（不需要解題過(guò)程）

Answer 1

（1）設(shè)M(x，y)，由

MA

•

MB

=0得x2+y2=4，此即點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）將x²+y²=4向右平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位后，
得到圓（x-1）²+（y+1）²=4
依題意有

|k+2|

k2+1

=2，得k=0或k=

4

3

．
（3）（ⅰ）證明：不妨設(shè)點(diǎn)P在A的右側(cè)，并設(shè)P（t，-5）（t＞0），
則tan∠EPA=

8

t

，tan∠FPA=

2

t

所以tanα=tan(∠EPA-∠FPA)=

8 t - 2 t

1+ 16 t2

=

6

t+ 16 t

≤

3

4

所以0＜tanα≤

3

4

．顯然α為銳角，即：0＜α≤arctan

3

4

（ⅱ）如圖．（圖形中沒(méi)有體現(xiàn)出雙曲線的漸近性的，扣1分）0＜α≤arctan

5

4

．