Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，且an+2=(1+2|cos

nπ

2

|)an+|sin

nπ

2

|，n∈N*，
（1）求a_2k-1（k∈N^*）；
（2）數(shù)列{y_n}，{b_n}滿足y=a_2n-1，b₁=y₁，且當(dāng)n≥2時(shí)bn

=y

2 n

(

1

y 2 1

+

1

y 2 2

+…+

1

y 2 n-1

)．證明當(dāng)n≥2時(shí)，

bn+1

(n+1)

-

bn

n2

=

1

n2

；
（3）在（2）的條件下，試比較(1+

1

b1

)•(1+

1

b2

)•(1+

1

b3

)+…+(1+

1

bn

)與4的大小關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）設(shè)n=2k-1，利用條件可證數(shù)列（a_2k-1}為等差數(shù)列．從而可求其通項(xiàng)；
（2）先求得，

bn

n2

=

1

12

+

1

22

+…+

1

(n-1)2

，然后再寫一式，兩式相減即可證得；
（3）先計(jì)算的當(dāng)n=1時(shí)，1+

1

b1

=2＜4；當(dāng)n=2時(shí)，(1+

1

b1

)•(1+

1

b2

)=2×

5

4

＜4，再證當(dāng)n≥3時(shí)，利用放縮法結(jié)合裂項(xiàng)求和即可的結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)n=2k-1
由a2k+1=(1+2|cos

(2k-1)π

2

|)a2k-1+|sin

(2k-1)π

2

|=a2k-1+1
∴a_2k+1-a_2k-1=1
∴數(shù)列（a_2k-1}為等差數(shù)列．
∴a_2k-1=k（k∈N^*）；        …（4分）
（2）證：y=a_2n-1=n．當(dāng)n≥2時(shí)，

bn

n2

=

1

12

+

1

22

+…+

1

(n-1)2

…①
∴

bn+1

(n+1)2

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

…②…（6分）
②式減①式，有

bn+1

(n+1)2

-

bn

n2

=

1

n2

，得證．                …（8分）
（3）解：當(dāng)n=1時(shí)，1+

1

b1

=2＜4；
當(dāng)n=2時(shí)，(1+

1

b1

)•(1+

1

b2

)=2×

5

4

＜4，
由（2）知，當(dāng)n≥2時(shí)，

1+bn

bn+1

=

n2

(n+1)2

，
∴當(dāng)n≥3時(shí)，(1+

1

b1

)•(1+

1

b2

)•(1+

1

b3

)+…+(1+

1

bn

)=2[1+

1

22

+…+

1

n2

]
∵

1

n2

＜ 

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)，
∴(1+

1

b1

)•(1+

1

b2

)•(1+

1

b3

)+…+(1+

1

bn

)＜2(2-

1

n

)＜4     …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列為載體，考查等差數(shù)列的定義，考查數(shù)列與不等式的結(jié)合，有較強(qiáng)的技巧性．