Question

（12分）已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過點(diǎn)，它們在軸上有共同焦點(diǎn)，橢圓和雙曲線的對稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求這三條曲線的方程；

（2）已知?jiǎng)又本�過點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），，；

（2）

。

【解析】本題主要考查圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)以及靈活運(yùn)用知識解決問題的能力。

解：（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為，將代入方程得，

；

由題意知橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)為；

對于橢圓，；

對于雙曲線，

（2）設(shè)的中點(diǎn)為，的方程為：，以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)為

令

思路拓展：（1）求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，往往要優(yōu)先考慮運(yùn)用定義、幾何性質(zhì)；

（2）解答存在性問題，往往要先假定存在，然后利用已知條件，若能推出合理結(jié)果，則肯定能存在，否則，假設(shè)不成立，不存在。