Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，0），直線l：x+2y-2=0交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（1，），
（1）求橢圓的方程；
（2）動點(diǎn)N滿足，求動點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓方程為（m＞n＞0，m-n=9），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法及線段AB中點(diǎn)，可得m=4n，與m-n=9聯(lián)立，即可得到橢圓的方程；
（2）由，x+2y=2，消元求出，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231646787541992/SYS201311012316467875419020_DA/4.png">，所以動點(diǎn)N的軌跡是以M為圓心，|AB|為直徑的圓，由此可得N的軌跡方程．
解答：解：（1）由題意設(shè)橢圓方程為（m＞n＞0，m-n=9），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
①，②
①-②，可得
因?yàn)榫�段AB中點(diǎn)，所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=2
所以
所以m=4n，
因?yàn)閙-n=9，所以m=12，n=3
所以橢圓的方程為（ 6分）
（2）由，x+2y=2，消元可得y²-y-1=0，則：
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231646787541992/SYS201311012316467875419020_DA/14.png">，所以動點(diǎn)N的軌跡是以M為圓心，|AB|為直徑的圓
所以，
所以N的軌跡方程為（6分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定圓的圓心與半徑．