Question

在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知cos2C=-

3

4

．
（1）求sinC；
（2）當(dāng)c=2a，且b=3

7

時(shí)，求a．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式cos2C=1-2sin²C求解即可，注意隱含條件sinC＞0；
（Ⅱ）利用（1）中的結(jié)論，結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系易得sinA，cosA，cosC的值，又由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC求出sinB的值，最后由正弦定理求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得1-2sin2C=-

3

4

．所以sin2C=

7

8

．
因?yàn)樵凇鰽BC中，sinC＞0，
所以sinC=

14

4

．（6分）
（Ⅱ）因?yàn)閏=2a，所以sinA=

1

2

sinC=

14

8

．
因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以cosC=

2

4

，cosA=

5 2

8

．
所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

14

8

×

2

4

+

5 2

8

×

14

4

=

3 7

8

．
由正弦定理可得：

3 7

sinB

=

a

sinA

，所以a=

14

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題是高考的�？碱}型，主要考查了正弦定理、三角函數(shù)及三角恒等變換等知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力和利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能．