Question

已知函數(shù)y=f（x），x∈N^*，y∈N^*，滿足：①對任意x1，x2∈N*，x1≠x2，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）；②對任意n∈N^*都有f[f（n）]=3n．
（1）試證明：f（x）為N^*上的單調(diào)增函數(shù)；
（2）求f（1）+f（6）+f（30）；
（3）令an=f(3n)，n∈N*，試證明：Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

4

，判斷S_n與

n

4n+2

的大小（不需要證明）

Answer 1

分析：（1）由①知，對任意a，b∈N^*，a＜b，都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，由于a-b＜0，從而f（a）＜f（b），由此能夠證明函數(shù)f（x）為N^*上的單調(diào)增函數(shù)．
（2）令f（1）=a，則a＞1，由f（f（1））=3，即得f（a）=3．由f（a）＞f（1）=a，即a＜3．于是得1＜a＜3，又a∈N^*，從而a=2，即f（1）=2，由此能求出f（1）+f（6）+f（30）．
（3）法一：f(an)=f(f(3n))=3×3n=3n+1，an+1=f(3n+1)=f(f(an))=3an，a₁=f（3）=6．即數(shù)列{a_n}是以6為首項，以3為公比的等比數(shù)列．故an=6×3n-1=2×3n(n=1，2，3…)．由此能夠證明

1

4

(1-

1

3n

)＜

1

4

，（12分）
法二：裂項求和：由

1

an

=

1

2×3n

=

1

4

(

1

3n-1

-

1

3n

)，知3n=(1+2)n=1+

C

1 n

×2+

C

2 n

×22+…+

C

n n

×2n≥1+2n，由此能夠證明

n

4n+2

≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

4

．

解答：解：（1）由①知，對任意a，b∈N^*，a＜b，
都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，
由于a-b＜0，從而f（a）＜f（b），
所以函數(shù)f（x）為N^*上的單調(diào)增函數(shù)．（3分）
（2）令f（1）=a，則a＞1，
顯然a≠1，否則f（f（1））=f（1）=1，與f（f（1））=3矛盾．
從而a＞1，而由f（f（1））=3，即得f（a）=3．
又由（I）知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．
于是得1＜a＜3，
又a∈N^*，從而a=2，即f（1）=2．（5分）
而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，（7分）
f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81，
由于54-27=81-54=27，
而且由（I）知，函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)，因此f（30）=54+3=57．
從而f（1）+f（6）+f（30）=2+9+57=68．（9分）
（3）解法一：f(an)=f(f(3n))=3×3n=3n+1，
an+1=f(3n+1)=f(f(an))=3an，a₁=f（3）=6．
即數(shù)列{a_n}是以6為首項，以3為公比的等比數(shù)列．
∴an=6×3n-1=2×3n(n=1，2，3…)．（11分）
于是

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

2

(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)=

1

2

×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

4

(1-

1

3n

)，
顯然

1

4

(1-

1

3n

)＜

1

4

，（12分）
解法二：裂項求和：

1

an

=

1

2×3n

=

1

4

(

1

3n-1

-

1

3n

)
（不需要證明）3n=(1+2)n=1+

C

1 n

×2+

C

2 n

×22+…+

C

n n

×2n≥1+2n，
從而

1

4

(1-

1

3n

)≥

1

4

(1-

1

2n+1

)=

n

4n+2

．
綜上所述，

n

4n+2

≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

4

．（14分）

點評：本題考查單調(diào)函數(shù)的證明，考查函數(shù)值的求法，考查不等式的證明．具體涉及到數(shù)列的性質(zhì)和應用、函數(shù)與數(shù)列的有機結(jié)合，解題時要認真審題，注意裂項求和法的靈活運用．