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          已知M是△ABC內的一點（不含邊界），且
          AB
          .
          AC
          =2
          		3
          ∠BAC=30°          ，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z，則
          1
          x+y
          +
          4
          z
          的最小值是
          9
          9
          ．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：利用向量的數(shù)量積公式可求|
          AB
          ||
          AC
          |          ，根據(jù)三角形的面積公式，可得x+y+z=1，再利用基本不等式，即可求得結論．
          解答：解：∵
          AB
          •
          AC
          =2
          		3
          ，∠BAC=30°
          ∴|
          AB
          ||
          AC
          |          •cos30°=2
          		3

          ∴|
          AB
          ||
          AC
          |          =4，
          ∴S△ABC=
          1
          2
          |
          AB
          ||
          AC
          |          •sin30°=1=x+y+z
          ∴
          1
          x+y
          +
          4
          z
          =（
          1
          x+y
          +
          4
          z
          ）（x+y+z）=5+
          z
          x+y
          +
          4(x+y)
          z

          ∵x＞0，y＞0，z＞0
          ∴
          z
          x+y
          +
          4(x+y)
          z
          ≥2
          z
          x+y
          ×
          4(x+y)
          z
          =4
          ∴
          1
          x+y
          +
          4
          z
          的最小值是9
          故答案為：9
          點評：本題考查向量的數(shù)量積公式，考查基本不等式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知M是△ABC內的一點，且
          AB
          •
          AC
          =2
          		3
          ，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為
          1
          2
          ，x，y，則
          1
          x
          +
          4
          y
          的最小值是（　　）
          
                
          A、20B、18C、16D、9
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知M是△ABC內的一點（不含邊界），且
          AB
          •
          AC
          =2
          		3
          ，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z．
          （1）x+y+z=
           
          ；
          （2）定義f（x，y，z）=
          1
          x
          +
          4
          y
          +
          9
          z
          ，則f（x，y，z）的最小值是 

           
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知M是△ABC內的一點，且
          AB
          •
          AC
          =2
          		3
          ，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為
          1
          2
          ，x，y，則
          1
          x
          +
          4
          y
          的最小值為
           
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知M是△ABC內的一點，且
          AB
          •
          AC
          =2
          		3
          ，∠BAC=30°．定義：f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分別為△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（x，y，
          1
          2
          ），則
          1
          2x
          +
          2
          y
          的最小值為
          9
          9
          ，此時f（M）=（
          (
          1
          6
          ，
          1
          3
          ，
          1
          2
          )
          (
          1
          6
          ，
          1
          3
          ，
          1
          2
          )
          ．
          

			
          

			
          
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