Question

設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù),

A={(x,y)|x=n,y=na+b,n∈Z},

B={(x,y)|x=m,y=3m²+15,m∈Z},

C={(x,y)|x²+y²≤144}都是平面xOy內(nèi)的點(diǎn)的集合.

求證:不存在a、b,使得A∩B≠,且點(diǎn)(a,b)∈C同時(shí)成立.?

Answer 1

解析:假設(shè)存在a、b,使A∩B≠,且點(diǎn)(a,b)∈C.?

由(a,b)∈C,得a²+b²≤144,①?

由A∩B≠得直線y=ax+b與拋物線y=3x²+15必有交點(diǎn),且交點(diǎn)中至少有一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù).因此由

得3x²-ax+15-b=0,?

Δ=a²-4×3(15-b)≥0.②?

由①②得144-b²≥a²≥4×3(15-b),于是144-b²≥12(15-b),(b-6)²≤0,b=6.?

從而a²=108,直線方程為y=x+6或y=-x+6,?直線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)不可能均為整數(shù),這與假設(shè)相矛盾.所以假設(shè)不成立,原命題正確.