Question

已知x，y∈R，則（x+y）²+（x-

1

y

-1）²的最小值為（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  2

• C．

  2

  2

• D．2

  2

  -

  1

  2

Answer 1

分析：由兩點間距離公式，將（x+y）²+（x-

1

y

-1）²看成兩點（x，x-1），（-y，

1

y

）間的距離的平方，第一個點在直線 y=x-1上，第二個點在反比例函數(shù)y=-

1

x

的圖象上，故原題轉(zhuǎn)化為在直線上找一個點，使得它到圖象y=-

1

x

的距離的平方最小值．

解答：解：由兩點間距離公式，將所求看成兩點間的距離的平方，
其中一個點為（x，x-1），另一個點為 （-y，

1

y

），
第一個點在直線 y=x-1上，第二個點在反比例函數(shù)y=-

1

x

的圖象上，
轉(zhuǎn)化為在直線上找一個點，使得它到圖象y=-

1

x

的距離的平方最小，

∵反比例函數(shù)y=-

1

x

的圖象關(guān)于y=-x對稱，
直線y=x-1也關(guān)于y=-x對稱，
觀察l圖象知頂點P（1，-1）到直線y=x-1的距離最短，
最短距離d=

|1+1-1|

2

=

1

2

，
∴（x+y）²+（x-

1

y

-1）²的最小值=(

1

2

)2=

1

2

．
故選B．

點評：本題考查兩點間距離公式的應(yīng)用和點到直線的距離公式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運用．