Question

焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂的橢圓C2

x2

a2

+

y2

b2

=1過(guò)點(diǎn)M（2，1），拋物線(xiàn)y2=4

3x

的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）不過(guò)M的動(dòng)直線(xiàn)l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若

MA

•

MB

=0，求證：直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（Ⅰ）由2p=4

3

，∴p=2

3

，∴拋物線(xiàn)y2=4

3x

的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-

3

．
故F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
∴橢圓方程可化為

x2

a2

+

y2

a2-3

=1，又橢圓過(guò)點(diǎn)M（2，1），
∴

4

a2

+

1

a2-3

=1，則a⁴-8a²+12=0，
∵a²＞3，解得：a²=6．
∴所求橢圓的方程為

x2

6

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）證明：①若直線(xiàn)l⊥x軸，直線(xiàn)l可設(shè)為x=m（m≠2），則直線(xiàn)l與橢圓交于
A(m，

3(1- m2 6 )

)，B(m，-

3(1- m2 6 )

)，
由

MA

•

MB

=0，得(m-2)2+(1-

3(1- m2 6 )

)(1+

3(1- m2 6 )

)=0，
即3m²-8m+4=0．
解得：m=2（舍）或m=

2

3

，
故直線(xiàn)l的方程為x=

2

3

．
②若直線(xiàn)l與x軸不垂直，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+n．
直線(xiàn)l與橢圓

x2

6

+

y2

3

=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

x2 6 + y2 3 =1 y=kx+n

?（1+2k²）x²+4knx+2n²-6=0．
由△＞0，得：（4kn）²-4（1+2k²）（2n²-6）＞0，即6k²-n²+3＞0．
由根與系數(shù)關(guān)系得：x1+x2=-

4kn

1+2k2

，x1•x2=

2n2-6

1+2k2

．
由

MA

•

MB

=0得：（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=0，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+y₁y₂-（y₁+y₂）+5=0，
又y₁=kx₁+n，y₂=kx₂+n，
故(1+k2)x1x2+(kn-k-2)(x1+x2)+n2-2n+5=0，
即(1+k2)•

2n2-6

1+2k2

-(kn-k-2)•

4kn

1+2k2

+n2-2n+5=0．
∴4k²+8kn+（3n+1）（n-1）=0，即（2k+3n+1）（2k+n-1）=0．
∴n=-

2

3

k-

1

3

或n=-2k+1．
而n=-

2

3

k-

1

3

或n=-2k+1滿(mǎn)足△＞0．
∴直線(xiàn)l為y=kx-

2

3

k-

1

3

=k(x-

2

3

)-

1

3

或y=kx-2k+1=k（x-2）+1．
由于直線(xiàn)l不過(guò)M，∴直線(xiàn)y=kx-2k+1=k（x-2）+1不合題意．
∴直線(xiàn)l為y=k(x-

2

3

)-

1

3

．
綜合①②，直線(xiàn)l為為y=k(x-

2

3

)-

1

3

或x=

2

3

．
故直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)(

2

3

，-

1

3

)．