Question

已知（

x

+

1

2

4	1 x

）ⁿ的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求n；
（2）求第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及項(xiàng)的系數(shù)；
（3）求含x項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二項(xiàng)式定理求出（

x

+

1

2

4	1 x

）ⁿ的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)于n的方程，求出方程的解即可得到n的值；
（2）把（1）求出的n的值代入展開式的通項(xiàng)公式中，化簡(jiǎn)后將r=2代入即可求出第3項(xiàng)的二次項(xiàng)的系數(shù)及項(xiàng)的系數(shù)；
（3）令（2）中化簡(jiǎn)后的展開項(xiàng)的通項(xiàng)公式中x的指數(shù)等于1，即可求出此時(shí)r的值，代入系數(shù)公式中即可求出含x項(xiàng)的系數(shù)．

解答：解：（1）前三項(xiàng)系數(shù)為1，

1

2

C_n¹，

1

4

C_n²成等差數(shù)列，
∴2•

1

2

C_n¹=1+

1

4

C_n²，即n²-9n+8=0，
∴n=8或n=1（舍）；
（2）由n=8知：
其通項(xiàng)公式T_r+1=C₈^r•（

x

）^8-r•（

1

2

4	1 x

）^r=（

1

2

）^r•C₈^r•x4-

3

4

r（r=0，1，…，8），
∴第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C₈²=28，
第三項(xiàng)系數(shù)為（

1

2

）²•C₈²=7；
（3）令4-

3

4

r=1，得r=4，
∴含x項(xiàng)的系數(shù)為（

1

2

）⁴•C₈⁴=

35

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用二次項(xiàng)定理化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．