Question

已知函數(shù)，其中a＞0．
（1）若2f（1）=f（-1），求a的值；
（2）當a≥1時，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)2f（1）=f（-1）建立等式關系，解之即可求出a的值；
（2）若a≥1，任取0≤x₁＜x₂，然后通過化簡變形判定f（x₁）-f（x₂）與0的大小，從而確定函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)則任取1≤x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）＜0，從而求出a的范圍．
解答：解：（1）由2f（1）=f（-1），可得：，…（4分）
（2）若a≥1，任取0≤x₁＜x₂
==…（6分）
因為，，所以…（8分）
因為a≥1，則f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減     …（10分）
（3）任取1≤x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=，因為f（x）單調(diào)遞增，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，又x₁-x₂＜0，那么＞0恒成立 （12分），…（14分）   所以…（16分）
點評：本題主要考查了函數(shù)求值以及函數(shù)單調(diào)性的判定和利用單調(diào)性求參數(shù)范圍等問題，屬于中檔題．