Question

奧運(yùn)會火炬?zhèn)鬟f準(zhǔn)備在某省8個城市中選取6個制定傳遞路線，滿足下列條件的方法各有多少種？
（1）甲乙兩個城市只選1個，有多少種方法？有多少條不同的路線？
（2）甲乙兩個城市至少選1個，有多少種方法？有多少條不同的路線？

Answer 1

分析：（1）①甲乙兩個城市只選1個，屬于有限制的組合問題，可分兩步考慮，第一步，先從甲乙兩個城市中選一個，再從剩下的6個城市中任選5個，最后把兩步相乘即可．
②欲求有多少條不同的路線，只需把①中所選出的6個城市進(jìn)行再全排列即可．
（2）①甲乙兩個城市至少選1個，則可能選一個，也可能選兩個，所以先分兩類，第一類，甲乙兩個城市選1個，則需再從剩余6個城市中選5個，第二類，甲乙兩個城市都選，則需再從剩余的6個城市中再選4個，把兩類的選法相加，就是總的選法．
②欲求有多少條不同的路線，只需把①中所選出的6個城市進(jìn)行再全排列即可．

解答：解：（1）①分兩步計算，第一步，先從甲乙2個城市中選一個，有C₂¹=2種不同的選法
第二步，從剩下的6個城市中任選5個城市，有C₆⁵=6種不同的選法
兩步方法數(shù)相乘，共有2×6=12種不同的選法．
②不選出的城市再進(jìn)行全排列，有12A₆⁶=8640條不同的路線．
（2）①分兩類．第一類，甲乙兩個城市之選一個，根據(jù)（1），有12種不同的選法，
第一類，甲乙兩個城市都選，再從剩下的6個城市中選4個，有C₆⁴=15種選法
∴共有12+15=27種不同的選法
②不選出的城市再進(jìn)行全排列，有27A₆⁶=19440條不同的路線．

點評：本題主要考查了分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理與排列組合的綜合應(yīng)用，做題時要分清何時用分類，何時用分步．