Question

在1，2，3，4，5中任取兩個(gè)不同的數(shù)作為坐標(biāo)構(gòu)成的平面向量的集合為M．對(duì)M中的每一個(gè)向量，作與其大小相等且數(shù)量積為零的向量，構(gòu)成向量集合V．分別在向量集合M、V中各任取一個(gè)向量

a

與向量

β

，其滿足

α

•

β

＜0的概率是（　�。�

• A．

  47

  100

• B．

  43

  80

• C．

  23

  50

• D．

  19

  40

Answer 1

分析：先計(jì)算出M中的元素個(gè)數(shù)，以及V中的元素個(gè)數(shù)，分別從兩個(gè)集合中各取一個(gè)向量的取法是兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)的乘積，再研究

α

•

β

＜0得出使得其內(nèi)積小0的取法種數(shù)，由公式計(jì)算出概率即可

解答：解：在1，2，3，4，5中任取兩個(gè)不同的數(shù)作為坐標(biāo)構(gòu)成的平面向量的集合為M．故M中元素的個(gè)數(shù)是A₅²=20
對(duì)M中的每一個(gè)向量，作與其大小相等且數(shù)量積為零的向量，構(gòu)成向量集合V．故V中也有40個(gè)元素，
分別在向量集合M、V中各任取一個(gè)向量

a

與向量

β

，所有的取法為20×40=800個(gè)
由于V中向量都是成對(duì)的相反向量，故所取的兩個(gè)向量?jī)?nèi)積為正與內(nèi)積為負(fù)的數(shù)目是相等的，由此只需要求出內(nèi)積為0的數(shù)目，從總數(shù)中減去內(nèi)積為0的數(shù)目后再除以2，即可得到內(nèi)積小于0的種數(shù)下研究?jī)?nèi)積為0的數(shù)目
由集合V中元素的屬性知，M中的每個(gè)元素在V中都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)元素與它垂直，故有20×2=40個(gè)內(nèi)積為0
觀察M集合，其中向量坐標(biāo)為（1，2）的向量還與（4，-2）（-4，2）垂直，同理（2，1），（2，4）（4，2）都還分別與V中兩向量垂直，由此知，內(nèi)積為0的向量被少計(jì)了8組，故分別在向量集合M、V中各任取一個(gè)向量

a

與向量

β

，其滿中內(nèi)積為0的數(shù)目是48個(gè)
由此，內(nèi)積不為0的數(shù)目共有752組
所以分別在向量集合M、V中各任取一個(gè)向量

a

與向量

β

，其滿足

α

•

β

＜0的數(shù)目有382個(gè)，其概率為

376

800

=

47

100

故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率，解答本題關(guān)鍵是正確求出總的基本事件數(shù)與滿足內(nèi)積為負(fù)的事件所包含的基本事件數(shù)，尤其是在求內(nèi)積為負(fù)的事件所包含的基本事件數(shù)時(shí)，考查所有事件的類型是正確求出數(shù)目的關(guān)鍵，其中注意到M中元素有互相垂直的情況，對(duì)正確做題非常關(guān)鍵．分析問(wèn)題時(shí)一定要把問(wèn)題的類型分析清楚．本題考查分析轉(zhuǎn)化的能力，易因?yàn)榉治霾磺迨录�的類型而�?dǎo)致錯(cuò)誤，本題比較抽象，題后應(yīng)好好總結(jié)其中的關(guān)系．