Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，且橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與其一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）過雙曲線的右頂點(diǎn)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).

①設(shè)，當(dāng)為定值時(shí)，求的值；

②設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，滿足，記的面積為的面積為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ①.；②. .

【解析】

試題分析：

(1)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可求得.則橢圓的方程為.

(2)①.由題意可得雙曲線右頂點(diǎn)為.分類討論：

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程有，則時(shí)為定值.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，也滿足，則當(dāng)時(shí)為定值.

②.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，由題意結(jié)合平行關(guān)系可得.換元后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，則的取值范圍是.

試題解析：

（1）由題意得橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)方程為，

其左右焦點(diǎn)為，所以，

又因?yàn)闄E圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與構(gòu)成正三角形，所以

又因?yàn)?/span>，所以.

所以橢圓的方程為.

（2）①雙曲線右頂點(diǎn)為.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為

由得

設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)，

則，

則，

所以

當(dāng)，即時(shí)為定值.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為

由得，不妨設(shè)，由可得.

，所以.

綜上所述當(dāng)時(shí)為定值.

②因?yàn)?/span>，所以，所以，

因?yàn)?/span>

原點(diǎn)到直線的距離為，

所以.

令，則，所以

因?yàn)?/span>，所以，所以，所以

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，

綜上所述的取值范圍是.