Question

設(shè)函數(shù)

f(x)＝

(1)求f(log₂ )與f(log )的值；

(2)求滿足f(x)＝2的x的值；

(3)求f(x)的最小值．

Answer 1

解：(1)∵log₂ <log₂ 2＝1，

∴f(log₂ )＝2－log₂＝2log₂＝.

∵log ＝log()³＝3>1，

∴f(log )＝f(3)＝log₃ ·log₃ ＝log₃ 1·log₃ 3^－1＝0×(－1)＝0.

故f(log₂ )與f(log )的值分別為，0.

(2)當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)＝2^－x＝2，解得x＝－1，符合題意，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)＝log₃ ·log₃ ＝2

即(log₃x－1)(log₃x－2)＝2，

∴l(xiāng)ogx－3log₃x＝0，

∴l(xiāng)og₃x＝3或log₃x＝0.

由log₃x＝0得x＝1，不合題意(舍去)．

由log₃x＝3，得x＝3³＝27>1符合題意．

綜上可知，所求x的值為－1或27.

(3)當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)＝2^－x＝()^x≥()¹，

即f(x)_min＝.

當(dāng)x>1時(shí)，f(x)＝(log₃x－1)(log₃x－2)．

令log₃x＝t，則t>0，

∴y＝(t－1)(t－2)＝(t－)²－，

∴當(dāng)t＝>0時(shí)，y_min＝－<.

∴f(x)的最小值為－.