Question

如圖，為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線(xiàn)段OD的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線(xiàn)C過(guò)Q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上運(yùn)動(dòng)且保持|PA|+|PB|的值不變.

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線(xiàn)C的方程；

(2)過(guò)D點(diǎn)的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且M在D、N之間，設(shè)=λ，求λ的取值范圍.

Answer 1

(1) 曲線(xiàn)C的方程為+y²=1 (2) λ＜1

解析:

(1)以AB、OD所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，?

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4.

∴曲線(xiàn)C為以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的橢圓.

設(shè)其長(zhǎng)半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,∴a=,c=2,b=1.

∴曲線(xiàn)C的方程為+y²=1.

(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+2,

代入+y²=1,得(1+5k²)x²+20kx+15=0.

Δ=(20k)²－4×15(1+5k²)＞0,得k²＞.

由圖可知=λ

由韋達(dá)定理得

將x₁=λx₂代入得

兩式相除得

     ①

M在D、N中間，∴λ＜1                   ②

又∵當(dāng)k不存在時(shí)，顯然λ= (此時(shí)直線(xiàn)l與y軸重合).