Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上到點(diǎn)A（0，b）距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)是B（0，-b），則橢圓的離心率的取值范圍為（　　）

• A、(0，

  6

  3

  ]
• B、[

  6

  3

  ，1)
• C、(0，

  2

  2

  ]
• D、[

  2

  2

  ，1)

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)P（x，y）是橢圓上的任意一點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得：|PA|²=x²+（y-b）²=a2(1-

y2

b2

)+(y-b)2=-

c2

b2

(y-

-b3

c2

)2+

a4

c2

=f（y），由于橢圓上的點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，b）距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)是B（0，-b），利用二次函數(shù)的單調(diào)性可知：f（y）在（-b，b）單調(diào)遞減，可得

-b3

c2

≤-b，即可得出離心率的取值范圍．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P（x，y）是橢圓上的任意一點(diǎn)，
則

x2

a2

+

y2

b2

=1，化為x2=a2(1-

y2

b2

)．
∴|PA|²=x²+（y-b）²=a2(1-

y2

b2

)+(y-b)2=-

c2

b2

(y-

-b3

c2

)2+

a4

c2

=f（y），
∵橢圓上的點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，b）距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)是B（0，-b），
由二次函數(shù)的單調(diào)性可知：f（y）在（-b，b）單調(diào)遞減，
∴

-b3

c2

≤-b，
化為c²≤b²=a²-c²，即2c²≤a²，
∴e≤

2

2

．
又e＞0．
∴離心率的取值范圍是(0，

2

2

]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．