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        1. 如圖所示,在半徑為1的⊙O中,引兩條互相垂直的直徑AE和BF,在EF上取點(diǎn)C,弦AC交BF于P,弦CB交AE于Q,弦EF交AC于D.

          證明:四邊形APQB的面積是1.

          答案:
          解析:

            證明:因?yàn)锳E、BF為互相垂直的兩條直徑,垂足O為圓心,

            所以AE、BF互相平分,垂直且相等,

            所以四邊形ABEF是正方形.

            所以∠ACB=∠AEF=45°,即∠DCQ=∠QED.

            所以D、Q、E、C四點(diǎn)共圓.

            連結(jié)CE、DQ,

            則∠DCE+∠DQE=180°.

            因?yàn)锳E為⊙O的直徑,

            所以∠DCE=90°,∠DQE=90°.

            因?yàn)椤螰OE=90°,

            進(jìn)而DQ∥BF,

            所以S△BPQ=S△BPD

            所以S△ABP+S△BPQ=S△ABP+S△BPD,

            即S四邊形ABQP=S△ABD

            因?yàn)椤袿的半徑為1,

            所以正方形邊長為2,

            即AB=AF=2.

            所以S四邊形ABQP=S△ABDAB·AF=1.

            分析:由已知條件可以證明四邊形ABEF是正方形,且邊長為,則正方形面積為2.而△ABD的面積為正方形面積的一半,所以,只需證明S四邊形APQB=S△ABD,即證S△BPD=S△BPQ,即證DQ∥PB.因?yàn)锽P⊥AE,所以只需證DQ⊥AE.


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