Question

設(shè)a是實數(shù)，f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）試證明：對于任意a，f（x）在R上為單調(diào)函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故可得f（x）+f（-x）=0，由此方程求a的值；
（2）證明于任意a，f（x）在R上為單調(diào)函數(shù)，由定義法證明即可，設(shè)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，研究f（x₁）-f（x₂）的符號，根據(jù)單調(diào)性的定義判斷出結(jié)果．
（3）因為f（x）在R上為增函數(shù)且為奇函數(shù)，由此可以將不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，轉(zhuǎn)化為k•3^x＜-3^x+9^x+2即3^2x-（1+k）3^x+2＞對任意x∈R恒成立，再通過換元進一步轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立的問題即可解出此時的恒成立的條件．

解答：解：（1）∵f(-x)=a-

2

2-x+1

=a-

2•2x

1+2x

，且f（x）+f（-x）=0
∴2a-

2(1+2x)

1+2x

=0，∴a=1（注：通過f（0）=0求也同樣給分）
（2）證明：設(shè)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=(a-

2

2x1+1

)-(a-

2

2x2+1

)
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，∴(2x1-2x2)＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即∴f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在R上為增函數(shù)．
（3）因為f（x）在R上為增函數(shù)且為奇函數(shù)，
由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0得
f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2）
∴k•3^x＜-3^x+9^x+2即3^2x-（1+k）3^x+2＞對任意x∈R恒成立，
令t=3^x＞0，問題等價于t²-（1+k）t+2＞0，其對稱軸x=

k+1

2

當

k+1

2

＜0即k＜-1時，f（0）=2＞0，符合題意，
當

k+1

2

≥0即對任意t＞0，f（t）＞0恒成立，等價于

k+1 2 ≥0 △=(1+k)2-8＜0

解得-1≤k＜-1+2

2

綜上所述，當k＜-1+2

2

時，不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立．

點評：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)奇偶性的定義以及函數(shù)單調(diào)性的定義，還有它們的判斷證明過程，第三小問函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合的一個典型題，綜合性強，變形靈活，由于其解題規(guī)律相對固定，故學(xué)習(xí)時掌握好它的解題脈絡(luò)即可心輕松解決此類題，題后注意總結(jié)一下解題的過程以及其中蘊含的固定規(guī)律．