Question

定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足對任意的實數(shù)x，y都有f（x^y）=yf（x）
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）若f(

1

2

)＜0，求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅲ）若f(

1

2

)＜0，解不等式f（|3x-2|-2x）＜0．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)f（x）滿足對任意的實數(shù)x，y都有f（x^y）=yf（x），令令x=1，y=2，可知f（1）=2f（1），進而得到f（1）的值；
（Ⅱ）設(shè)0＜x₁＜x₂，根據(jù)函數(shù)f（x）滿足對任意的實數(shù)x，y都有f（x^y）=yf（x）及f(

1

2

)＜0，可以判斷出f（x₁）-f（x₂）＜0，進而根據(jù)增函數(shù)的定義得到f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅲ）由（I）（II）中的結(jié)論，可將不等式f（|3x-2|-2x）＜0化為0＜|3x-2|-2x＜1，解絕對值不等式即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）令x=1，y=2，可知f（1）=2f（1），故f（1）=0…（4分）
證明：（Ⅱ）設(shè)0＜x₁＜x₂，∴存在s，t使得x₁=（

1

2

）^s，x₂=（

1

2

）^t，且s＞t．又f（

1

2

）＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=f[（

1

2

）^s]-f[（

1

2

）^t]=sf（

1

2

）-tf（

1

2

）=（s-t）f（

1

2

）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．…（9分）
解：（Ⅲ）由（Ⅰ）得f（|3x-2|-2x）＜0   即：f（|3x-2|-2x）＜f（1）
由（Ⅱ）可知0＜|3x-2|-2x＜1
解得：

1

5

＜x＜

2

5

或2＜x＜3…（14分）

點評：本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，其中（I）的關(guān)鍵是根據(jù)已知湊配出f（1）的方程，（II）的關(guān)鍵是熟練掌握定義法判斷函數(shù)單調(diào)情的步驟，（III）的關(guān)鍵是根據(jù)（I）（II）的結(jié)論，將不等式f（|3x-2|-2x）＜0化為0＜|3x-2|-2x＜1．