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        1. 四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,點E滿足
          PE
          =
          1
          3
          PD

          (1)求證:PA⊥平面ABCD;
          (2)求二面角E-AE-D的余弦值.
          (Ⅰ)正方形ABCD中,CD⊥AD,
          又CD⊥PD,
          所以CD⊥平面PAD
          所以CD⊥PA(2分)
          又CB⊥AB,CB⊥PB
          ∴CB⊥平面PAB
          ∴CB⊥PA(4分)
          又CB∩CD=C
          ∴PA⊥平面ABCD(5分)

          (Ⅱ)方法一:
          在平面PAD中,過E作EFPA,交AD于F,過F作AC的垂線,垂足為G,連接EG,
          ∵EFPA,PA⊥平面ABCD,
          ∴EF⊥平面ABCD,
          ∴EF⊥AC
          又∵AC⊥FG,
          ∴AC⊥平面EGF
          故EG⊥AC,
          所以∠EGF為二面角E-AC-D的平面角(9分)
          又EF=
          2
          3
          PA=
          4
          3
          ,在△ACD中,F(xiàn)G=
          2
          3

          ∴EG=
          EF2+FG2
          =
          2
          (11分)
          cos∠EGF=
          2
          3
          2
          =
          1
          3
          (12分)

          方法二:
          建立如圖所示的空間直角坐標系,
          則C(2,2,0),E(0,
          2
          3
          ,
          4
          3
          ),
          AC
          =(2,2,0),
          AE
          =(0,
          2
          3
          4
          3
          )(7分)
          設平面ACE的法向量
          m
          =(x,y,z)
          ,
          m
          AC
          =0
          m
          AE
          =0
          2x+2y=0
          2
          3
          y+
          4
          3
          z=0
          m
          =(2,-2,1)
          (9分)
          又平面ACD的法向量為
          AP
          =(0,0,2)(10分)
          cos<
          AP
          m
          >=
          2
          2•3
          =
          1
          3
          (11分)
          由圖可知,二面角的平面角為銳角,
          ∴二面角E-AC-D的余弦值為
          1
          3
          (12分)
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

          如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,P為△ABC所在平面外一點,PA⊥平面ABC,則四面體P-ABC中共有( 。﹤直角三角形.
          A.4B.3C.2D.1

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,F(xiàn)A⊥平面ABCD,EFBC,F(xiàn)A=2,AD=3,∠ADE=45°,點G是FA的中點.
          (1)求證:EG⊥平面CDE;
          (2)在棱BC是否存在點M,使GM平面CDE,若存在,找出點M;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分別為A1B1、A1A的中點.
          (Ⅰ)求cos<
          BA1
          ,
          CB1
          >的值;
          (Ⅱ)求證:BN⊥平面C1MN;
          (Ⅲ)求點B1到平面C1MN的距離.

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,P、Q分別是BC、CD上的動點,且|PQ|=
          2
          ,建立如圖所示的坐標系.
          (1)確定P、Q的位置,使得B1Q⊥D1P;
          (2)當B1Q⊥D1P時,求二面角C1-PQ-A的大。

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2.
          (1)求證:AC⊥平面BB1C1C;
          (2)在A1B1上是否存一點P,使得DP與平面BCB1與平面ACB1都平行?證明你的結論.

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖1所示,在Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD為∠ACB的平分線,點E在線段AC上,CE=4.如圖2所示,將△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,連接AB,設點F是AB的中點.
          (1)求證:DE⊥平面BCD;
          (2)若EF平面BDG,其中G為直線AC與平面BDG的交點,求三棱錐B-DEG的體積.

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,點E在棱PB上,O為AC與BD的交點.
          (1)求證:平面AEC⊥平面PDB;
          (2)當E為PB中點時,求證:OE平面PDA,OE平面PDC.
          (3)當PD=
          2
          AB
          且E為PB的中點時,求AE與平面PBC所成的角的大小.

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,在梯形ABCD中,ABCD,∠ADC=90°,3AD=DC=3,AB=2,E是DC上點,且滿足DE=1,連接AE,將△DAE沿AE折起到△D1AE的位置,使得∠D1AB=60°,設AC與BE的交點為O.
          (1)試用基向量
          AB
          ,
          AE
          ,
          AD1
          表示向量
          OD1
          ;
          (2)求異面直線OD1與AE所成角的余弦值;
          (3)判斷平面D1AE與平面ABCE是否垂直?并說明理由.

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