Question

如圖，拋物線(xiàn)C₁：y²=8x與雙曲線(xiàn)有公共焦點(diǎn)F₂，點(diǎn)A是曲線(xiàn)C₁，C₂在第一象限的交點(diǎn)，且|AF₂|=5．
（1）求雙曲線(xiàn)C₂的方程；
（2）以F₁為圓心的圓M與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)相切，圓N：（x-2）²+y²=1．已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線(xiàn)l₁和l₂，設(shè)l₁被圓M截得的弦長(zhǎng)為s，l₂被圓N截得的弦長(zhǎng)為t．是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)C₁的焦點(diǎn)為F₂（2，0），得出雙曲線(xiàn)C₂的焦點(diǎn)為F₁（-2，0）、F₂（2，0），再設(shè)A（x，y）在拋物線(xiàn)C₁上，根據(jù)|AF₂|=5結(jié)合拋物線(xiàn)的定義得，x、y的值，最后根據(jù)雙曲線(xiàn)定義結(jié)合點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)上，得a=1，可求雙曲線(xiàn)方程；
（2）設(shè)圓M的方程為：（x+2）²+y²=r²，根據(jù)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程和直線(xiàn)與圓相切的條件，得圓M的半徑為，從而求出圓M的方程．過(guò)點(diǎn)P作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線(xiàn)l₁和l₂，設(shè)其中的一條斜率為k，則另一條的斜率為，利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，將直線(xiàn)l₁和l₂的方程與圓M方程聯(lián)解，可以得出弦長(zhǎng)為s和t關(guān)于k的表達(dá)式，將其代入進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以得到定值．
解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)C₁：y²=8x的焦點(diǎn)為F₂（2，0），
∴雙曲線(xiàn)C₂的焦點(diǎn)為F₁（-2，0）、F₂（2，0），
設(shè)A（x，y）在拋物線(xiàn)C₁：y²=8x上，且|AF₂|=5，
由拋物線(xiàn)的定義得，x+2=5，∴x=3，∴y²=8×3，∴，
∴，
又∵點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)上，由雙曲線(xiàn)定義得，2a=|7-5|=2，∴a=1，
∴雙曲線(xiàn)的方程為：．
（2）為定值．下面給出說(shuō)明．
設(shè)圓M的方程為：（x+2）²+y²=r²，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：，
∵圓M與漸近線(xiàn)相切，∴圓M的半徑為，
故圓M：（x+2）²+y²=3，
顯然當(dāng)直線(xiàn)l₁的斜率不存在時(shí)不符合題意，
設(shè)l₁的方程為，即，
設(shè)l₂的方程為，即，
∴點(diǎn)M到直線(xiàn)l₁的距離為，點(diǎn)N到直線(xiàn)l₂的距離為，
∴直線(xiàn)l₁被圓M截得的弦長(zhǎng)，
直線(xiàn)l₂被圓N截得的弦長(zhǎng)，
∴，
故為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓方程、直線(xiàn)方程、圓錐曲線(xiàn)的基本量和圓與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．解決本題一方面要求對(duì)圓方程、直線(xiàn)方程、圓錐曲線(xiàn)的方程有熟悉的理解，另一方面要求對(duì)含有字母的代數(shù)式化簡(jiǎn)、計(jì)算要精確到位，具有較強(qiáng)的綜合性．