Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如圖E、F分別是BB₁，CD的中點(diǎn)，
（1）求證：D₁F⊥平面ADE；
（2）cos?

EF

，

CB1

?（說(shuō)明如何建系）

Answer 1

分析：以DA、DC、DD1為x，y，z軸，建立直角坐標(biāo)系，
（1）表示出

D1F

，

D A

，

AE

，

D1F

•

DA

=0，

D1F

•

AE

=0，推出

D1F

⊥

DA

，

D1F

⊥

AE

．證明D₁F⊥平面ADE；
（2）以DA、DC、DD1為x，y，z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求出

CB1

，

EF

，利用?

EF

，

CB1

?=

EF • CB1

| EF |•| CB1 |

求出cos?

EF

，

CB1

?

解答：解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
（1）證明：不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，
則D（0，0，0），A（1，0，0），D₁（0，0，1），
E（1，1，

1

2

），F(xiàn)（0，

1

2

，0），
則

D1F

=（0，

1

2

，-1），

D A

=（1，0，0），

AE

=（0，1，

1

2

），
則

D1F

•

DA

=0，

D1F

•

AE

=0，
∴

D1F

⊥

DA

，

D1F

⊥

AE

．∴D₁F⊥平面ADE；

（2）解：B₁（1，1，1），C（0，1，0），
故

CB1

=（1，0，1），

EF

=（-1，-

1

2

，-

1

2

），
∴

EF

•

CB1

=-1+0-

1

2

=-

3

2

，|

EF

|=

1+ 1 4 + 1 4

=

3 2

，|

CB1

|=

2

，
則cos?

EF

，

CB1

?=

EF • CB1

| EF |•| CB1 |

=

- 3 2

3 2 • 2

=-

3

2

.?

EF

，

CB1

?=150°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用空間向量求直線間的夾角、距離，向量語(yǔ)言表述線面的垂直、平行關(guān)系，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．