Question

【題目】已知雙曲線： 的離心率， 、為其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且， ， 是坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求雙曲線的方程；

（2）過的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題（1）先由離心率得出的關(guān)系，再由與求得，從而求得雙曲線方程；（2）先得出的坐標(biāo)，再分直線的斜率是否存在討論，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，然后聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理即可求得的取值范圍．

試題解析：（1）由，得， ，

故雙曲線的方程為，即 ．

由，得， ．

又， ，∴

∴雙曲線的方程為．

（2）由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，得；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，并設(shè)，

由，得，依題意知，

∴，

將， 代入上式化簡得：

，由及，得或．

綜上可知的取值范圍是．