Question

（本小題12分）在平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于．兩點。

   （1）求證：“如果直線過點，那么”是真命題。

   （2）寫出（1）中命題的逆命題（直線與拋物線相交于．兩點為大前提），判斷它是真命題還是假命題，如果是真命題，寫出證明過程；如果是假命題，舉出反例說明。

Answer 1

證明：（1）設過點的直線交拋物線于點，，

當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，直線與拋物線相交于，。----------------2分

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，其中

由得-------------------4分

又   

綜上，“直線與拋物線相交于．兩點，如果直線過點，那么”是真命題。---------------------6分（注，如果設）

（2） （1）中命題的逆命題是：“直線交拋物線于．兩點，如果，那么直線過點”--------------------8分

該命題是個假命題。-----------------------9分

例如：取拋物線上的點，直線AB的方程為，而點（3，0）不在直線AB上。--------------------12分