Question

(本小題滿分13分)

已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，且，，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，，求證：導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離不小于，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是

（Ⅱ）因?yàn)?img width=128 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/28/230228.gif" >，，所以，即.

因?yàn)?img width=84 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/20/230220.gif" >，所以，即.                        

于是，，.  （1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img width=184 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/39/230239.gif" >，則在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

                                                                        

（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img width=207 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/43/230243.gif" >，則在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點(diǎn).

故導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).                                

（Ⅲ）的取值范圍是.     

解析:

（I）因?yàn)?img width=168 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/48/230248.gif" >，又，則

.                                                   （1分）

因?yàn)閤₂，x₃是方程的兩根，則

，.即.                                          （2分）

又，即，所以，即，從而.

所以.                                                   （3分）

因?yàn)?img width=123 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/61/230261.gif" >，由，得.

故的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.                  （4分）

（Ⅱ）因?yàn)?img width=128 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/67/230267.gif" >，，所以，即.

因?yàn)?img width=84 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/71/230271.gif" >，所以，即.                          （5分）

于是，，.   （6分）

（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img width=184 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/78/230278.gif" >，則在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

                                                                            （7分）

（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img width=207 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/82/230282.gif" >，則在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點(diǎn).

故導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).                                  （8分）

（Ⅲ）設(shè)m，n是導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則，.

所以.           （10分）

由已知，，則，即.

所以，即或.                                （11分）

又，，所以，即.

因?yàn)?img width=37 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/99/230299.gif" >，所以.                                               （12分）

綜上分析，的取值范圍是.                                  （13分）