Question

實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，圓x²+y²-2ax+a²-1=0與拋物線y2=

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x有兩個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

分析：利用圓x²+y²-2ax+a²-1=0與拋物線y2=

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x有兩個(gè)公共點(diǎn)，聯(lián)立方程，根據(jù)根的判別式，結(jié)合圖象的變換，即可求a的值．

解答：解：由x²+y²-2ax+a²-1=0，可得標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-a）²+y²=1
由此可知，這是一個(gè)圓心在（a，0），半徑恒為1的圓；參數(shù)a只影響圓心的位置，與半徑大小無(wú)關(guān)．
當(dāng)a=0時(shí)，該圓變成圓心在原點(diǎn)，半徑為1的單位圓：x²+y²=1，其與拋物線y2=

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x當(dāng)然會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)．
將拋物線y2=

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x代入圓的方程，得：x²+（

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-2a）x+a²-1=0…（1）
令其判別式△=（

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-2a）²-4（a²-1）=0，得a=

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，此時(shí)圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)；
將圓心在x軸上向左移動(dòng)到a=-1時(shí)，圓的方程變?yōu)椋▁+1）²+y²-1=x²+y²+2x=0
將y2=

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x代入得x（x+

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）=0，可知圓與拋物線有唯一的一個(gè)交點(diǎn)x=0，（x=-

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舍去，因?yàn)閤=-

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不在拋物線的定義域內(nèi)）．
綜上，當(dāng)-1＜a≤

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時(shí)，圓x²+y²-2ax+a²-1-0與拋物線y2=

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x有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．