Question

【題目】已知城和城相距，現(xiàn)計劃以為直徑的半圓上選擇一點（不與點， 重合）建造垃圾處理廠.垃圾處理廠對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關(guān)，對城和城的總影響度為對城與城的影響度之和.記點到城的距離為，建在處的垃圾處理廠對城和城的總影響度為.統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比例關(guān)系，比例系數(shù)為4；對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比例關(guān)系，比例系數(shù)為.當垃圾處理廠建在的中點時，對城和城的總影響度為0.065.

（1）將表示成的函數(shù).

（2）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷在上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城和城的總影響度最�。咳舸嬖�，求出該點到城的距離；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）點到城的距離為時，函數(shù)有最小值.

【解析】（1）由點是在以為直徑的半圓上，則易知，由勾股定理可得， ，再根據(jù)題意建立函數(shù)模型，求出系數(shù),從而問題可得解；（2）由（1）可得，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)來研究該的單調(diào)性，并求出其最小值，從而問題可得解.

試題解析：（1）由題意知， ， ，

則，

所以 .

因為當時， ，

代入表達式解得，

所以 .

（2）因為，

所以 .

令，得，

所以，即.

當時， ，所以函數(shù)為減函數(shù)；

當時， ，所以函數(shù)為增函數(shù).

所以當，即點到城的距離為 時，函數(shù) 有最小值.