Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當時，方程在區(qū)間上只有一個解；

（3）設(shè)，其中.若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）見解析(3)

【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)在的零點個數(shù)，求出方程在的解的個數(shù)即可；

（3）設(shè)，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值， ，求出的范圍即可.

詳解：（1）由已知.

所以，在區(qū)間上，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在區(qū)間上，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（2）設(shè)，.

，由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

且，.

所以，在區(qū)間上只有一個零點，方程在區(qū)間上只有一個解.

（3）設(shè)，，定義域為，

，

令，則，

由（2）知，在區(qū)間上只有一個零點，是增函數(shù)，

不妨設(shè)的零點為，則，

所以，與在區(qū)間上的情況如下：

	-	0	+

所以，函數(shù)的最小值為，

，

由，得，

所以.

依題意，即，解得，

所以，的取值范圍為.