Question

如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，且AB=AD，BC=DC．
（1）求證：BD∥平面EFGH；
（2）求證：四邊形EFGH是矩形．

Answer 1

分析：（1）E，H分別為AB，DA的中點(diǎn)，可得EH∥BD，又BD?平面EFGH，EH?平面EFGH，根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得BD∥平面EFGH．…
（2）取BD中點(diǎn)O，由條件利用等腰三角形的性質(zhì)證得AO⊥BD，CO⊥BD．從而證得BD⊥平面AOC，BD⊥AC． 利用三角形的中位線的性質(zhì)證得四邊形EFGH是
平行四邊形，再利用平行線的性質(zhì)證得EF⊥EH，可得四邊形EFGH為矩形．

解答：證明：（1）∵E，H分別為AB，DA的中點(diǎn)，
∴EH∥BD，又BD?平面EFGH，EH?平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH．…（4分）
（2）取BD中點(diǎn)O，連續(xù)OA，OC，∵AB=AD，BC=DC．∴AO⊥BD，CO⊥BD．
又AO∩CO=0．∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC．   …（7分）
∵E，F(xiàn)，G，H為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．
∴EH∥BD，且EH=

1

2

BD；FG∥BD，且FG=

1

2

BD，EF∥AC．
∴EH∥FG，且EH=FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．…（10分）
由AC⊥BD、EF∥AC、EH∥BD，∴EF⊥EH，∴四邊形EFGH為矩形．    …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，直線和平面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．