Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），且經(jīng)過點P(1，

3

2

)，M為橢圓上的動點，以M為圓心，MF₂為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若圓M與y軸有兩個交點，求點M橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設知及橢圓定義得|PF₁|+|PF₂|=2a，求出a=2．又c=1．由此能求出橢圓方程．
（2）先設M（x₀，y₀），得到圓M的半徑r=

(x0-1)2+ y 2 0

，再利用圓心M到y(tǒng)軸距離d=|x₀|，結(jié)合圓M與y軸有兩個交點時，則有r＞d，即可構(gòu)造關(guān)于x₀不等式，從而解得點M橫坐標的取值范圍．

解答：解：（1）由橢圓定義得|PF₁|+|PF₂|=2a，…（1分）
即2a=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1)2+( 3 2 )2

=4，…（3分）
∴a=2．又c=1，∴b²=a²-c²=3．…（5分）
故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）
（2）設M（x₀，y₀），則圓M的半徑r=

(x0-1)2+ y 2 0

，…（7分）
圓心M到y(tǒng)軸距離d=|x₀|，…（8分）
若圓M與y軸有兩個交點則有r＞d即

(x0-1)2+ y 2 0

＞|x0|，…（9分）
化簡得

y

2 0

-2x0+1＞0．…（10分）
∵M為橢圓上的點
∴

y

2 0

=3-

3

4

x

2 0

，…（11分）
代入以上不等式得3

x

2 0

+8x0-16＜0，
解得-4＜x0＜

4

3

．…（12分）
∵-2≤x₀≤2，…（13分）
∴-2≤x0＜

4

3

．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程和直線與圓錐曲線的關(guān)系，綜合性強，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．