Question

已知橢圓C：

x2

m

+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若橢圓上總存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P在以F₁F₂為直徑的圓上；
（1）求橢圓離心率的取值范圍；
（2）若AB是橢圓C的任意一條不垂直x軸的弦，M為弦AB的中點(diǎn)，且滿(mǎn)足K_AB•K_OM=-

1

4

（其中K_AB、K_OM分別表示直線(xiàn)AB、OM的斜率，O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求滿(mǎn)足題意的橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1） 利用點(diǎn)P在以F₁F₂為直徑的圓上，以及∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂，故只需滿(mǎn)足

BF1

•

BF2

≤0，由兩個(gè)向量的數(shù)量積公式
求出m的范圍，即得橢圓離心率的取值范圍．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂ ），M （x₀，y₀），把A、B的坐標(biāo)代入橢圓方程并相減得直線(xiàn)AB的斜率，據(jù)K_AB•K_OM=-

1

4

，求出 m值，即得橢圓的方程．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），∵F₁ （-

m-1

，0），F(xiàn)₂ （

m-1

，0），
設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為B（0，1），
∵點(diǎn)P在以F₁F₂為直徑的圓上，∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂，只需滿(mǎn)足

BF1

•

BF2

≤0，
（-

m-1

，-1）•（

m-1

，-1）=-（m-1）+1=2-m≤0，m≥2，
e=

m-1 m

∈[

2

2

，1）．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂ ），M （x₀，y₀），則x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀．
 把A、B的坐標(biāo)代入橢圓方程得  

x12

m

+y12=1，

x22

m

+y22=1，
并相減得：

(x1+x2)(x1-x2)

m

=-（y₁+y₂）（y₁-y₂），
∴K_AB =

y1-y2

x1-x2

=

-x0

my0

，又 K_OM=

Y0

X0

，
再由 K_AB•K_OM =-

1

4

，m=4，此時(shí)，橢圓的方程為

x2

4

+y²=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用以及用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，以及直線(xiàn)的斜率公式、
兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用．