Question

【題目】如圖，已知直線(xiàn)l1：kx+y=0和直線(xiàn)l2：kx+y+b=0（b＞0），射線(xiàn)OC的一個(gè)法向量為 =（﹣k，1），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且k≥0，直線(xiàn)l1和l2之間的距離為2，點(diǎn)A、B分別是直線(xiàn)l1、l2上的動(dòng)點(diǎn)，P（4，2），PM⊥l1于點(diǎn)M，PN⊥OC于點(diǎn)N；

（1）若k=1，求|OM|+|ON|的值；
（2）若| |=8，求 的最大值；
（3）若k=0，AB⊥l2 ， 且Q（﹣4，﹣4），試求|PA|+|AB|+|BQ|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵k=1．

∴射線(xiàn)OC的一個(gè)法向量為 =（﹣1，1），

∴射線(xiàn)OC的斜率為1，射線(xiàn)OC的方程為：y=x（x≥0）．

∴|PN|= = ，|OP|= =2 ，

∴|ON|= =3 ．

直線(xiàn)l1：x+y=0，|PM|= =3 ，

∴|OM|= = ．

∴|OM|+|ON|=4

（2）解：k≥0，b＞0，直線(xiàn)l1和l2之間的距離為2，

∴ =2，化為：b2=4（k2+1）．

設(shè)A（m，﹣km），B（n，﹣kn﹣b）．

∵P（4，2），| |=8，

∴ =（m+n﹣8，﹣km﹣kn﹣b﹣4），

則（m+n﹣8）2+（km+kn+b+4）2=64≥2（m﹣4）（n﹣4）+2（km+2）（kn+b+2），

=（m﹣4）（n﹣4）+（﹣km﹣2）（﹣kn﹣b﹣2）

=（m﹣4）（n﹣4）+（km+2）（kn+b+2）≤32，

故 的最大值為32

（3）解：k=0，直線(xiàn)l1：y=0，直線(xiàn)l2：y+2=0，如圖所示．

作出點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)y=﹣1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M（4，﹣4），則|PA|=|BM|．

設(shè)B（x，﹣2）．

∴|PA|+|AB|+|BQ|=|BM|+|QB|+2

= + +2，

同理由對(duì)稱(chēng)性可得：當(dāng)且僅當(dāng)B取點(diǎn)（0，﹣2）時(shí)，

|BM|+|QB|取得最小值2 =4 ．

∴|PA|+|AB|+|BQ|的最小值為4 +2．

【解析】（1）若k=1，則可得|OM|= ．|ON|=3 ，進(jìn)而得到|OM|+|ON|的值；（2）若| |=8，利用柯西不等式可得 ≤32；（3）若k=0，AB⊥l2 ， 且Q（﹣4，﹣4），|PA|+|AB|+|BQ|=|BM|+|QB|+2，當(dāng)且僅當(dāng)B取點(diǎn)（0，﹣2）時(shí)，|BM|+|QB|取得最小值．